2023 Forfatter: Jake Johnson | [email protected]. Sidst ændret: 2023-05-24 23:12
I logik og i matematik, logik og videnskabs filosofi, frem for alt, taler vi norm alt om aksiomer og teoremer. Formelle systemer er opbygget af aksiomer og sætninger, der er forskellige typer af påstande.
1. Hvad er et aksiom?
Axiomer er påstande, der tages for sande, selvom der ikke er noget bevis for deres sandhed, idet de accepterer deres sandhed som værende åbenlys. Det bruges til at udlede andre forslag fra det. Aksiomer er centrum for formelle systemer og teorier. Propositionerne afledt af aksiomerne er teoremer. For eksempel er Pythagoras sætning afledt af Euklids geometriaksiomer. Aksiomerne er nødvendigvis sande, det vil sige sande i enhver mulig verden.
Med en teori er der et krav om, at de påstande, der danner den, skal opfylde for at betragte det som et aksiom. I dette tilfælde for at betragte en proposition af en aksiomatisk teori som et aksiom, skal det være muligt at udlede alle teoriens propositioner fra teoriens aksiomer ved at bruge slutningsregler. På denne måde er en teoris aksiomer de påstande, der er en del af det sæt af påstande, hvorfra alle de andre kan udledes ved hjælp af en række regler givet af teorien.
Axiomer er universelle formler (af typen «for allex…" eller "alle x…"), så de er sande for enhver mulig fortolkning, de er, ud over at være nødvendige, universelle.
2. Hvad er en sætning?
Inden for et aksiomatisk system er en sætning den sidste af de påstande, vi finder i en deduktiv proces. Sætningen følger af de påstande, vi finder i denne rækkefølge, og resten af påstandene i de foregående, idet disse er aksiomer. Disse er afledt af anvendelsen af tidligere specificerede regler, disse er slutningsregler, som hjælper os med at udtrække sætninger fra andre aksiomer og sætninger. Sekvensen kaldes en test eller henvisning.
Når beviset er en fuldstændig syntaktisk proces, uden opmærksomhed på indholdet, så er det et helt formelt bevis. Computere er enheder, der udfører denne type syntaktiske processer uden at tage højde for det væsentlige indhold af de påstande eller formler, som de arbejder med.
Der er systemer, der giver os mulighed for at opnå sætninger uden behov for aksiomer, som det sker i nogle logiske systemer, hvor beregningen af naturlig deduktion bruges. I disse systemer kan teoremer udledes fra tomme sæt af præmisser.
Ud over sætninger taler vi i matematik om andre typer af sætninger, såsom følgen, lemmaet og sætningen. Følgen er en påstand, der kan udledes fra en sætning; lemmaet er til gengæld en del af en sætning, det vil sige udsagn om, atpræsentere dele af større sætninger. Endelig er en proposition et udsagn, der ikke har noget at gøre med nogen bestemt sætning. En konsekvens, en påstand og et lemma er mindre vigtige end en teorem.
